기본 집합론적 개념 · Set-Theoretic Foundations

DEF 1.1 순서쌍 Ordered Pair
한국어

두 원소 $x, y$에 대하여 순서쌍을 다음과 같이 정의한다:

$$(x, y) \;:=\; \bigl\{\{x\},\; \{x, y\}\bigr\}$$
English (Lecture Note)

Let $x$ and $y$ be elements. We define

$$(x, y) := \{\{x\}, \{x, y\}\}$$

and call it an ordered pair or ordered 2-tuple.

DEF 1.4 데카르트 곱 Cartesian Product
한국어

두 집합 $S, T$에 대하여 데카르트 곱을 다음과 같이 정의한다:

$$S \times T \;:=\; \{(x, y) \mid x \in S,\; y \in T\}$$
English (Lecture Note)

Let $S$ and $T$ be sets. The Cartesian Product $S \times T$ is the set of all ordered pairs $(x, y)$ such that $x \in S$ and $y \in T$. In other words,

$$S \times T := \{(x, y) : x \in S,\; y \in T\}$$
DEF 1.5 관계 Relation
한국어

집합 $S$ 위의 이항 관계(binary relation)는 데카르트 곱 $S \times S$의 부분집합이다. 관계 $\mathcal{R}$에 대해

$$(x, y) \in \mathcal{R} \;\Longleftrightarrow\; x \sim y$$
English (Lecture Note)

Let $S$ be a set. A (binary) relation on $S$ is a subset of the Cartesian product $S \times S$. Let $R$ be a relation on $S$. We say that the relation $R$ is denoted by $\sim$ if

$$(x, y) \in R \;\Leftrightarrow\; x \sim y.$$

순서와 유계 · Order and Boundedness

DEF 1.7 순서 Order
한국어

집합 $S$ 위의 관계 $<$가 순서(order)이려면 다음 두 조건을 만족해야 한다:

(i) 삼분율(Trichotomy). 임의의 $x, y \in S$에 대해 다음 셋 중 정확히 하나만 성립한다:

$$x < y, \qquad x = y, \qquad y < x$$

(ii) 추이성(Transitivity). $x, y, z \in S$에 대해

$$x < y \;\text{ 이고 }\; y < z \;\Longrightarrow\; x < z$$
비고

$x < y$ 대신 $y > x$로 쓰기도 한다. $x \leq y$는 $x < y$ 또는 $x = y$를 뜻한다. 조건 (i)에 의해 $x \leq y$는 $x > y$의 부정이다.

English (Lecture Note)

Let $S$ be a set. An order on $S$ is a relation on $S$, denoted by $<$, with the following two properties:

(i) If $x \in S$ and $y \in S$ then one and only one of the statements $x < y,\; x = y,\; y < x$ is true.

(ii) Let $x, y, z \in S$. If $x < y$ and $y < z$, then $x < z$.

Remark

It is often convenient to write $y > x$ in place of $x < y$. The notation $x \leq y$ indicates that $x < y$ or $x = y$. Due to (i), $x \leq y$ is the negation of $x > y$.

DEF 1.8 순서 집합 Ordered Set
한국어

순서(order)가 정의된 집합 $S$를 순서 집합이라 한다.

English (Lecture Note)

An ordered set is a set $S$ in which an order is defined.

DEF 1.9 최댓값과 최솟값 Maximum and Minimum
한국어

순서 집합 $S$와 $E \subset S$에 대해

(i) $a \in E$이고 모든 $e \in E$에 대해 $e \leq a$이면 $a$를 $E$의 최댓값(maximum)이라 한다.

(ii) $a \in E$이고 모든 $e \in E$에 대해 $a \leq e$이면 $a$를 $E$의 최솟값(minimum)이라 한다.

English (Lecture Note)

Let $S$ be an ordered set and $E \subset S$.

(i) We say that $a$ is the largest member, the greatest member, or the maximum of $E$ if $a \in E$ and $e \leq a$ for all $e \in E$.

(ii) We say that $a$ is the smallest member, the least member, or the minimum of $E$ if $a \in E$ and $a \leq e$ for all $e \in E$.

DEF 1.10 위로/아래로 유계 Bounded Above / Below
한국어

순서 집합 $S$와 $E \subset S$에 대해

(i) 어떤 $\beta \in S$가 존재하여 모든 $x \in E$에 대해 $x \leq \beta$이면 $E$는 위로 유계(bounded above)이고, $\beta$를 상계(upper bound)라 한다.

(ii) 어떤 $\beta \in S$가 존재하여 모든 $x \in E$에 대해 $x \geq \beta$이면 $E$는 아래로 유계(bounded below)이고, $\beta$를 하계(lower bound)라 한다.

English (Lecture Note)

Let $S$ be an ordered set and $E \subset S$.

(i) If there exists a $\beta \in S$ such that $x \leq \beta$ for all $x \in E$, then we say that $E$ is bounded above, and call $\beta$ an upper bound of $E$.

(ii) If there exists a $\beta \in S$ such that $x \geq \beta$ for all $x \in E$, then we say that $E$ is bounded below, and call $\beta$ a lower bound of $E$.

상한과 하한 · Supremum and Infimum

DEF 1.11 상한 Supremum / Least Upper Bound
한국어

위로 유계인 $E \subset S$에 대해 $\alpha \in S$가 다음 두 조건을 만족하면

(i) $\alpha$는 $E$의 상계이다.

(ii) $\gamma < \alpha$이면 $\gamma$는 $E$의 상계가 아니다.

$\alpha$를 $E$의 최소상계(least upper bound) 또는 상한(supremum)이라 하고 $\alpha = \sup E$로 표기한다.

English (Lecture Note)

Let $S$ be an ordered set and $E \subset S$. Assume that $E$ is bounded above and there exists an $\alpha \in S$ with the following properties:

(i) $\alpha$ is an upper bound of $E$.

(ii) If $\gamma < \alpha$ then $\gamma$ is not an upper bound of $E$.

Then $\alpha$ is called the least upper bound of $E$ or the supremum of $E$, written $\alpha = \sup E$.

In other words, $\sup E$ is the smallest member of the set of all upper bounds of $E$.

DEF 1.13 하한 Infimum / Greatest Lower Bound
한국어

아래로 유계인 $E \subset S$에 대해 $\alpha \in S$가 다음 두 조건을 만족하면

(i) $\alpha$는 $E$의 하계이다.

(ii) $\gamma > \alpha$이면 $\gamma$는 $E$의 하계가 아니다.

$\alpha$를 $E$의 최대하계(greatest lower bound) 또는 하한(infimum)이라 하고 $\alpha = \inf E$로 표기한다.

English (Lecture Note)

Let $S$ be an ordered set and $E \subset S$. Assume that $E$ is bounded below and there exists an $\alpha \in S$ with the following properties:

(i) $\alpha$ is a lower bound of $E$.

(ii) If $\gamma > \alpha$ then $\gamma$ is not a lower bound of $E$.

Then $\alpha$ is called the greatest lower bound of $E$ or the infimum of $E$, written $\alpha = \inf E$.

DEF 1.14 유리수 Rational Numbers
한국어

유리수 체계 $\mathbb{Q}$는 $m, n$이 정수이고 $n \neq 0$일 때 $\dfrac{m}{n}$ 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수의 집합이다:

$$\mathbb{Q} \;=\; \left\{\frac{m}{n} \;\middle|\; m, n \in \mathbb{Z},\; n \neq 0\right\}$$
English (Lecture Note)

The rational number system denoted by $\mathbb{Q}$ is the set of all numbers of the form $\tfrac{m}{n}$ with $m, n$ integers and $n \neq 0$:

$$\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m, n \text{ are integers},\; n \neq 0\right\}$$

An element of $\mathbb{Q}$ is called a rational number.

최소상계 성질과 실수계 · The Least-Upper-Bound Property & ℝ

DEF 1.16 최소상계 성질 Least-Upper-Bound Property
한국어

순서 집합 $S$가 최소상계 성질(least-upper-bound property)을 가진다는 것은 다음을 의미한다:

$E \subset S$가 공집합이 아니고 위로 유계이면

$$\sup E \;\text{ 가 } S \text{ 안에 존재한다.}$$
참고

$\mathbb{Q}$는 이 성질을 갖지 않는다 (Example 1.15). 이 빈틈이 바로 $\mathbb{R}$을 구성해야 하는 이유이다.

English (Lecture Note)

An ordered set $S$ is said to have the least-upper-bound property if the following is true:

If $E \subset S$, $E$ is not empty, and $E$ is bounded above, then $\sup E$ exists in $S$.

Note

$\mathbb{Q}$ does not have this property (Example 1.15). This gap is precisely why we construct $\mathbb{R}$.

THM 1.18 상한과 하한의 관계
한국어

$S$가 최소상계 성질을 가지는 순서 집합이고, $B \subset S$가 공집합이 아니며 아래로 유계라 하자. $L$을 $B$의 모든 하계들의 집합이라 하면:

$$\sup L \;\text{ 이 } S \text{ 안에 존재하고 }\; \sup L = \inf B$$

특히, $\inf B$가 $S$ 안에 존재한다.

$B$가 아래로 유계이므로 $L$은 공집합이 아니다. $L$이 $B$의 모든 하계들의 집합이므로, 임의의 $y \in L$과 $x \in B$에 대해 $y \leq x$가 성립한다.

따라서 모든 $x \in B$는 $L$의 상계이다. $L \subset S$이고 $S$는 최소상계 성질을 가지므로, $\sup L$이 $S$ 안에 존재한다.

이제 $\alpha = \sup L$로 놓자. $\gamma < \alpha$이면 $\gamma$는 $L$의 상계가 아니므로 $\gamma \notin B$이다. 대우를 취하면 $\gamma \in B$이면 $\gamma \geq \alpha$이므로 $\alpha \in L$이다.

마지막으로 $B$의 임의의 하계 $\beta$가 $\beta \leq \alpha$를 만족함을 보인다. 만약 $\beta > \alpha$이면 $\beta \notin L$이므로 $\alpha = \inf B$이다.

□
English (Lecture Note)

Let $S$ be an ordered set with the least-upper-bound property and $B \subset S$. Assume that $B$ is not empty and $B$ is bounded below. Let $L$ denote the set of all lower bounds of $B$. Then $\sup L$ exists in $S$ and

$$\sup L = \inf B.$$

In particular, $\inf B$ exists in $S$.

Since $B$ is bounded below, $L$ is not empty. Since $L$ is the set of all lower bounds of $B$, $y \leq x$ for all $y \in L$, $x \in B$. Thus every $x \in B$ is an upper bound of $L$.

Since $L \subset S$ and $S$ has the least-upper-bound property, $\sup L$ exists. Set $\alpha = \sup L$.

If $\gamma < \alpha$, then $\gamma$ is not an upper bound of $L$, thus $\gamma \notin B$. Taking the contrapositive: if $\gamma \in B$, then $\gamma \geq \alpha$, so $\alpha \in L$.

Now let $\beta > \alpha$. Since $\alpha$ is an upper bound of $L$, $\gamma \leq \alpha < \beta$ for all $\gamma \in L$, so $\beta \notin L$. Therefore $\alpha = \inf B$. $\square$

함수와 연산, 대수 구조 · Functions, Operations, Algebraic Structure

DEF 1.20 함수 Function
한국어

집합 $A$의 각 원소 $x$에 집합 $B$의 원소 $f(x)$를 대응시키는 규칙을

$$f : A \longrightarrow B$$

라 하고, $A$를 정의역(domain), $B$를 공역(target space)이라 한다. $f(A) = \{f(x) \mid x \in A\}$를 치역(range)이라 한다.

English (Lecture Note)

Let $A$ and $B$ be sets. Assume that for each element $x$ of $A$, there is an associated element of $B$, denoted $f(x)$. Then $f$ is said to be a function from $A$ to $B$.

The set $A$ is called the domain, $B$ is the target space, and the elements $f(x)$ are the values of $f$. The set of all values of $f$ is called the range of $f$.

If $f(A) = B$, we say $f$ maps $A$ onto $B$. We say $f$ is a 1-1 mapping if $f(x_1) \neq f(x_2)$ whenever $x_1 \neq x_2$.

DEF 1.21 연산 Operation
한국어

집합 $S$ 위의 이항 연산(binary operation)은 다음과 같은 함수이다:

$$S \times S \longrightarrow S$$
English (Lecture Note)

Let $S$ be a set. A (binary) operation on $S$ is a function from $S \times S$ to $S$.

DEF 1.22 체 Field
한국어

집합 $F$ 위에 덧셈과 곱셈이 정의되어 다음 공리들을 만족할 때 $F$를 체(field)라 한다.

(A) 덧셈 공리
  • A1교환법칙: $x + y = y + x$
  • A2결합법칙: $(x + y) + z = x + (y + z)$
  • A3항등원 존재: $\exists\, 0 \in F,\; 0 + x = x$
  • A4역원 존재: $x + (-x) = 0$을 만족하는 $-x \in F$ 존재
(M) 곱셈 공리
  • M1교환법칙: $xy = yx$
  • M2결합법칙: $(xy)z = x(yz)$
  • M3항등원 존재: $\exists\, 1 \in F,\; 1 \neq 0,\; 1 \cdot x = x$
  • M4역원 존재: $x \neq 0$이면 $x \cdot \frac{1}{x} = 1$인 $\frac{1}{x} \in F$ 존재
(D) 분배 법칙
$$x(y + z) = xy + xz \qquad \forall\, x, y, z \in F$$
English (Lecture Note)

A field is a set $F$ with two operations, called addition and multiplication, which satisfy the following "field axioms" (A), (M), and (D):

(A) Axioms for Addition
  • A1$x + y = y + x$ for all $x, y \in F$
  • A2$(x + y) + z = x + (y + z)$ for all $x, y, z \in F$
  • A3$F$ contains $0$ such that $0 + x = x$ for all $x \in F$
  • A4To every $x \in F$, there exists $-x \in F$ such that $x + (-x) = 0$
(M) Axioms for Multiplication
  • M1$xy = yx$ for all $x, y \in F$
  • M2$(xy)z = x(yz)$ for all $x, y, z \in F$
  • M3$F$ contains $1 \neq 0$ such that $1x = x$ for all $x \in F$
  • M4If $x \neq 0$, there exists $\frac{1}{x} \in F$ such that $x \cdot \frac{1}{x} = 1$
(D) Distributive Law
$$x(y + z) = xy + xz \quad \forall\, x, y, z \in F$$
DEF 1.24 순서체 Ordered Field
한국어

체 $F$가 동시에 순서 집합이며, 다음 호환 조건을 만족할 때 순서체(ordered field)라 한다:

(i) $y < z$이면 모든 $x \in F$에 대해 $x + y < x + z$

(ii) $x > 0$이고 $y > 0$이면 $xy > 0$

English (Lecture Note)

An ordered field is a field $F$ which is also an ordered set such that:

(i) $x + y < x + z$ if $x, y, z \in F$ and $y < z$.

(ii) $xy > 0$ if $x, y \in F$, $x > 0$, and $y > 0$.

If $x > 0$, we call $x$ positive; if $x < 0$, $x$ is called negative. For example, the rational number system $\mathbb{Q}$ is an ordered field.

THM 1.25 실수계의 존재 · Existence of ℝ
한국어

최소상계 성질을 가지며 $\mathbb{Q}$를 포함하는 순서체(ordered field) $\mathbb{R}$이 존재한다.

$$\begin{gathered} \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \\ \mathbb{R} \text{ 은 최소상계 성질을 가지는 순서체} \end{gathered}$$

$\mathbb{R}$을 실수계(real number system) 또는 실수(real numbers)라 부른다.

참고

이 정리의 증명은 [Rudin, Appendix, Chapter 1]을 참고하라. Exercise 1.27에서 $\mathbb{R}$이 적절한 의미에서 유일한 순서체임을 보인다.

English (Lecture Note)

There exists an ordered field $\mathbb{R}$ which has the least-upper-bound property and contains $\mathbb{Q}$.

We call $\mathbb{R}$ the real number system or the real numbers. The members of $\mathbb{R}$ are called real numbers.

Note

For the proof of this theorem, see [Rudin, Appendix, Chapter 1]. Exercise 1.27 asks one to show that $\mathbb{R}$ is the unique such ordered field in a suitable sense.

아르키메데스 성질과 확장 실수계 · Archimedean Property & Extended Reals

THM 1.26 아르키메데스 성질 & 유리수의 조밀성
한국어

(a) 아르키메데스 성질(Archimedean property). $x, y \in \mathbb{R}$이고 $x > 0$이면

$$\exists\, n \in \mathbb{N} \text{ 이고 } nx > y$$

(b) 유리수의 조밀성(Density of $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$). $x, y \in \mathbb{R}$이고 $x < y$이면

$$\exists\, p \in \mathbb{Q} \text{ 이고 } x < p < y$$

(a) $A_x = \{nx \in \mathbb{R} : n \in \mathbb{N}\}$으로 놓자. $nx > y$를 만족하는 $n$이 없다고 가정하면, $y$는 $A_x$의 상계이다. 최소상계 성질에 의해 $\alpha = \sup A_x$가 존재한다.

$x > 0$이므로 $\alpha - x < \alpha$이고, $\alpha - x$는 $A_x$의 상계가 아니다. 따라서 $\alpha - x < mx$를 만족하는 $m \in \mathbb{N}$이 존재한다. 즉 $\alpha < (m+1)x$인데, $(m+1)x \in A_x$이므로 $\alpha$가 상계라는 사실에 모순이다.

(b) $x < y$이면 $0 < y - x$이고, (a)에 의해 $n(y-x) > 1$, 즉 $ny > 1 + nx$를 만족하는 $n \in \mathbb{N}$이 존재한다. 다시 (a)를 적용하면 $m - 1 \leq nx < m$을 만족하는 정수 $m$이 존재한다. 이를 합치면 $nx < m \leq 1 + nx < ny$이므로 $x < \frac{m}{n} < y$이고, $p = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}$이다.

□
English (Lecture Note)

(a) If $x \in \mathbb{R}$, $y \in \mathbb{R}$, and $x > 0$, then there is a positive integer $n$ such that $nx > y$. (Archimedean property)

(b) If $x \in \mathbb{R}$, $y \in \mathbb{R}$, and $x < y$, then there exists a $p \in \mathbb{Q}$ such that $x < p < y$. ($\mathbb{Q}$ is dense in $\mathbb{R}$)

(a) Let $A_x := \{nx \in \mathbb{R} : n \in \mathbb{N}\}$. Assume for contradiction that $nx \leq y$ for all $n \in \mathbb{N}$. Then $y$ is an upper bound of $A_x$, so $\alpha = \sup A_x$ exists. Since $x > 0$, $\alpha - x < \alpha$, so $\alpha - x$ is not an upper bound: $\alpha - x < mx$ for some $m$. Then $\alpha < (m+1)x \in A_x$, contradicting $\alpha$ being an upper bound. $\square$

(b) Since $0 < y - x$, by (a) there exists $n$ with $n(y-x) > 1$, so $ny > 1 + nx$. By (a) again, pick integers $m_1 > nx$ and $m_2 > -nx$, giving an integer $m$ with $m-1 \leq nx < m$. Then $nx < m \leq 1 + nx < ny$, so $x < m/n < y$. Set $p = m/n \in \mathbb{Q}$. $\square$

DEF 1.28 확장된 실수계 Extended Real Number System
한국어

확장된 실수계 $\overline{\mathbb{R}}$은 실수계 $\mathbb{R}$에 두 기호 $+\infty$와 $-\infty$를 추가한 체계이다:

$$\overline{\mathbb{R}} \;=\; \mathbb{R} \cup \{-\infty,\; +\infty\}$$

순서는 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $-\infty < x < +\infty$로 확장된다. 관례적으로:

$$\begin{gathered} x + (+\infty) = +\infty, \quad x - \infty = -\infty \\ \frac{x}{\pm\infty} = 0 \qquad (x \in \mathbb{R}) \end{gathered}$$
비고

공집합이 아닌 모든 $E \subset \bar{\mathbb{R}}$은 최소상계를 가진다: $E$가 $\mathbb{R}$에서 위로 유계가 아니면 $\sup E = +\infty$이다. 관례적으로 $\sup \emptyset = -\infty$, $\inf \emptyset = +\infty$로 정의한다. 확장된 실수계는 체를 이루지 않는다.

English (Lecture Note)

The extended real number system consists of $\mathbb{R}$ and two symbols $+\infty$ and $-\infty$ satisfying $-\infty < x < +\infty$ for all $x \in \mathbb{R}$.

$$\bar{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$$

Conventions (if $x$ is real): $x + (+\infty) = +\infty$,  $x - \infty = -\infty$,  $\frac{x}{\pm\infty} = 0$.

If $x > 0$: $x \cdot (+\infty) = +\infty$, $x \cdot (-\infty) = -\infty$. If $x < 0$: signs reverse.

Remark

Every nonempty $E \subset \bar{\mathbb{R}}$ has a least upper bound: $\sup E = +\infty$ if $E$ is not bounded above in $\mathbb{R}$. It is natural to define $\sup \emptyset = -\infty$ and $\inf \emptyset = +\infty$. The extended real number system does not form a field.

유클리드 공간 · Euclidean Space

THM 1.33 코시-슈바르츠 부등식 & 삼각 부등식 · Cauchy-Schwarz & Triangle Inequalities
한국어

유클리드 공간 $\mathbb{R}^k$의 벡터 $x, y, z$에 대해 내적과 노름을 각각

$$x \cdot y = \sum_{i=1}^{k} x_i y_i, \quad |x| = \!\left(\sum_{i=1}^{k} x_i^2\right)^{\!1/2}$$

으로 정의하면 다음이 성립한다.

(i) 코시-슈바르츠 부등식: $|x \cdot y| \leq |x||y|$

(ii) 삼각 부등식: $|x + y| \leq |x| + |y|$

(iii) $|x - z| \leq |x - y| + |y - z|$

(i) 증명. $y = 0$이면 자명하다. $y \neq 0$으로 가정하고 임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해

$$0 \;\leq\; |x - \alpha y|^2 \;=\; |x|^2 - 2\alpha(x \cdot y) + \alpha^2 |y|^2$$

$\alpha = \dfrac{x \cdot y}{|y|^2}$로 놓으면 $0 \leq |x|^2 - \frac{(x \cdot y)^2}{|y|^2}$이므로 (i)이 성립한다.

(ii) 증명.

$$\begin{aligned} |x+y|^2 &= |x|^2 + 2(x \cdot y) + |y|^2 \\ &\leq |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 \\ &= (|x|+|y|)^2 \end{aligned}$$

(iii)은 $\tilde{x} = x - y$, $\tilde{y} = y - z$로 놓고 (ii)를 적용하면 얻는다.

□
English (Lecture Note)

Let $x, y, z \in \mathbb{R}^k$. Then

(i) Cauchy-Schwarz inequality:

$$|x \cdot y| \leq |x||y|$$

(ii) Triangle inequality:

$$|x + y| \leq |x| + |y|$$

(iii)

$$|x - z| \leq |x - y| + |y - z|$$

(i) Assume $y \neq 0$. For any $\alpha \in \mathbb{R}$: $0 \leq |x - \alpha y|^2 = |x|^2 - 2\alpha(x \cdot y) + \alpha^2|y|^2$. Setting $\alpha = \frac{x \cdot y}{|y|^2}$ gives $0 \leq |x|^2 - \frac{(x\cdot y)^2}{|y|^2}$, i.e. $|x \cdot y|^2 \leq |x|^2|y|^2$. $\square$

(ii)

$$\begin{aligned} |x+y|^2 &= |x|^2 + 2x\cdot y + |y|^2 \\ &\leq |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = (|x|+|y|)^2 \end{aligned}$$

$\square$

(iii) Set $\tilde{x} = x-y$, $\tilde{y} = y-z$. Apply (ii):

$$|x-z| = |\tilde{x}+\tilde{y}| \leq |\tilde{x}| + |\tilde{y}| = |x-y|+|y-z|$$

$\square$