함수의 극한 · Limits of Functions
$(X, d_X)$와 $(Y, d_Y)$가 거리 공간이라 하자. $E \subset X$, $f: E \to Y$가 사상이고 $p$가 $E$의 극한점이라 하자. $x \to p$일 때 $f$가 극한 $q$를 가진다는 것은 ($f(x) \to q$ 또는 $\lim_{x \to p} f(x) = q$로 표기) 어떤 $q \in Y$가 존재하여 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $\delta > 0$이 존재하고 $x \in E$가
를 만족하면 $d_Y(f(x), q) < \varepsilon$인 것이다.
Let $(X, d_X)$ and $(Y, d_Y)$ be metric spaces, $E \subset X$, $f: E \to Y$, and $p$ a limit point of $E$. We say $f$ has limit $q$ at $p$ (and write $\lim_{x \to p} f(x) = q$) if there is $q \in Y$ such that for every $\varepsilon > 0$ there exists $\delta > 0$ with $d_Y(f(x), q) < \varepsilon$ for all $x \in E$ satisfying $0 < d_X(x, p) < \delta$.
$(X, d_X), (Y, d_Y)$가 거리 공간, $E \subset X$, $f: E \to Y$, $p$가 $E$의 극한점이라 하자.
일 필요충분조건은 $p_n \neq p$이고 $\lim_{n \to \infty} p_n = p$인 $E$ 안의 모든 수열 $\{p_n\}$에 대해 $\lim_{n \to \infty} f(p_n) = q$인 것이다.
($\Rightarrow$) $\{p_n\}$이 $p_n \neq p$, $\lim p_n = p$를 만족한다 하자. $\varepsilon > 0$을 주자. $\lim_{x \to p} f(x) = q$이므로 $\delta > 0$이 존재하여 $x \in E$, $0 < d_X(x, p) < \delta$이면 $d_Y(f(x), q) < \varepsilon$.
$\lim p_n = p$이므로 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여 $n \geq N$이면 $d_X(p_n, p) < \delta$. $p_n \neq p$이므로 $0 < d_X(p_n, p) < \delta$. 따라서 $d_Y(f(p_n), q) < \varepsilon$. $\lim f(p_n) = q$.
($\Leftarrow$) 귀류법. $\lim_{x \to p} f(x) \neq q$라 하자. 그러면 $\varepsilon_0 > 0$이 존재하여 모든 $\delta > 0$에 대해 $p_\delta \in X$가 존재하여 $d_Y(f(p_\delta), q) \geq \varepsilon_0$이고 $0 < d_X(p_\delta, p) < \delta$.
특히 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $\delta = 1/n$을 취하면 $p_n \in E$가 존재하여 $d_Y(f(p_n), q) \geq \varepsilon_0$, $0 < d_X(p_n, p) < 1/n$.
$0 < d_X(p_n, p)$이므로 $p_n \neq p$. EX 3.17에 의해 $\lim p_n = p$. 그러나 $f(p_n)$은 $q$로 수렴하지 않는다 ($d_Y(f(p_n), q) \geq \varepsilon_0$). 이는 가정에 모순.
Let $(X,d_X), (Y,d_Y)$ be metric spaces, $E \subset X$, $f: E \to Y$, $p$ a limit point. Then $\lim_{x \to p} f(x) = q$ iff $\lim f(p_n) = q$ for every sequence $\{p_n\}$ in $E$ with $p_n \neq p$ and $\lim p_n = p$.
($\Rightarrow$) Given $\varepsilon > 0$, find $\delta$; then $N$ with $d_X(p_n, p) < \delta$ (and $\neq 0$) for $n \geq N$, yielding $d_Y(f(p_n), q) < \varepsilon$.
($\Leftarrow$) Contrapositive: if $\lim_{x \to p} f \neq q$, find $\varepsilon_0$ and $p_n$ with $0 < d_X(p_n, p) < 1/n$ but $d_Y(f(p_n), q) \geq \varepsilon_0$. Then $p_n \to p$ by EX 3.17, $p_n \neq p$, but $f(p_n) \not\to q$. $\square$
$(X, d_X), (Y, d_Y)$가 거리 공간, $E \subset X$, $f: E \to Y$, $p$가 $E$의 극한점이라 하자. $\lim_{x \to p} f(x) = q_1$이고 $\lim_{x \to p} f(x) = q_2$이면 $q_1 = q_2$.
$p$가 극한점이므로 THM 3.6에 의해 $E$ 안의 수열 $\{p_n\}$이 존재하여 $p_n \neq p$, $\lim p_n = p$. (더 정확하게는 수열을 $p_n \neq p$로 선택할 수 있다.)
THM 4.2에 의해 $\lim f(p_n) = q_1$이고 $\lim f(p_n) = q_2$. THM 3.4(b) (수열 극한의 유일성)에 의해 $q_1 = q_2$.
If $\lim_{x \to p} f(x) = q_1$ and $= q_2$, then $q_1 = q_2$. The limit at $p$ is unique.
Take $p_n \in E$, $p_n \neq p$, $p_n \to p$ (THM 3.6). By THM 4.2, $f(p_n) \to q_1$ and $\to q_2$; by THM 3.4(b), $q_1 = q_2$. $\square$
연속 · Continuity
$(X, d_X), (Y, d_Y)$가 거리 공간, $E \subset X$, $f: E \to Y$, $p \in E$라 하자. $f$가 $p$에서 연속(continuous)이라는 것은 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $\delta > 0$이 존재하여 모든 $x \in E$에 대해 $d_X(x, p) < \delta$이면 $d_Y(f(x), f(p)) < \varepsilon$인 것이다.
$f$가 $E$의 모든 점에서 연속이면 $f$가 $E$에서 연속이라 한다.
$f$ is continuous at $p \in E$ if for every $\varepsilon > 0$ there exists $\delta > 0$ such that $d_Y(f(x), f(p)) < \varepsilon$ for all $x \in E$ with $d_X(x, p) < \delta$. $f$ is continuous on $E$ if continuous at every $p \in E$.
$(X, d_X), (Y, d_Y)$가 거리 공간, $E \subset X$, $f: E \to Y$, $p$가 $E$의 극한점이라 하자. 그러면 $f$가 $p$에서 연속일 필요충분조건은 $\lim_{x \to p} f(x) = f(p)$인 것이다.
If $p$ is a limit point of $E$, then $f$ continuous at $p$ iff $\lim_{x \to p} f(x) = f(p)$.
$p$가 $E$의 극한점이라 하자. 그러면 $f$가 $p$에서 연속일 필요충분조건은 $\lim p_n = p$인 $E$ 안의 모든 수열 $\{p_n\}$에 대해 $\lim f(p_n) = f(p)$인 것이다.
THM 4.8에 의해 $f$가 $p$에서 연속 $\iff$ $\lim_{x\to p} f(x) = f(p)$. THM 4.2에 의해 이는 $p_n \neq p$, $\lim p_n = p$인 모든 $\{p_n\}$에 대해 $\lim f(p_n) = f(p)$와 동치.
$p_n = p$이면 $f(p_n) = f(p)$이므로 $f(p_n) \to f(p)$는 자동. 따라서 조건은 "모든 $\{p_n\}$ ($p_n \to p$)에 대해 $f(p_n) \to f(p)$"와 동치. ($p_n \neq p$ 조건 제거 가능.)
If $p$ is a limit point of $E$, $f$ continuous at $p$ iff $\lim f(p_n) = f(p)$ for every sequence $\{p_n\}$ in $E$ with $\lim p_n = p$.
THM 4.8 + THM 4.2 give the version with $p_n \neq p$. If $p_n = p$ then $f(p_n) = f(p)$ trivially, so the constraint is removable. $\square$
$(X, d_X), (Y, d_Y), (Z, d_Z)$가 거리 공간, $E \subset X$, $p \in E$, $f: E \to Y$, $g: f(E) \to Z$라 하자. $h(x) := g(f(x))$ ($x \in E$)로 정의하자. $f$가 $p$에서 연속이고 $g$가 $f(p)$에서 연속이면 $h$는 $p$에서 연속이다.
$\varepsilon > 0$을 주자. $g$가 $f(p)$에서 연속이므로 $\delta_0 > 0$이 존재하여 모든 $y \in f(E)$에 대해 $d_Y(y, f(p)) < \delta_0$이면 $d_Z(g(y), g(f(p))) < \varepsilon$.
$f$가 $p$에서 연속이므로 $\delta > 0$이 존재하여 모든 $x \in E$에 대해 $d_X(x, p) < \delta$이면 $d_Y(f(x), f(p)) < \delta_0$.
$x \in E$, $d_X(x, p) < \delta$이면 $f(x) \in f(E)$이고 $d_Y(f(x), f(p)) < \delta_0$, 따라서 $d_Z(h(x), h(p)) = d_Z(g(f(x)), g(f(p))) < \varepsilon$.
Let $f: E \to Y$, $g: f(E) \to Z$, $h = g \circ f$. If $f$ continuous at $p$ and $g$ continuous at $f(p)$, then $h$ continuous at $p$.
Given $\varepsilon$, pick $\delta_0$ from $g$'s continuity, then $\delta$ from $f$'s so $d_Y(f(x), f(p)) < \delta_0$. Then $d_Z(h(x), h(p)) < \varepsilon$. $\square$
$(X, d_X), (Y, d_Y)$가 거리 공간, $f: X \to Y$라 하자. $f$가 $X$에서 연속일 필요충분조건은 $Y$의 모든 열린 집합 $V$에 대해 $f^{-1}(V) := \{x \in X : f(x) \in V\}$가 $X$에서 열린 집합인 것이다.
($\Rightarrow$) $f$가 연속이라 하자. $V$가 $Y$에서 열림, $p \in f^{-1}(V)$라 하자. $f(p) \in V$이고 $V$가 열림이므로 $\varepsilon_0 > 0$이 존재하여 $N_{\varepsilon_0}(f(p)) \subset V$.
$f$가 $p$에서 연속이므로 $\delta > 0$이 존재하여 모든 $x \in X$, $d_X(x,p) < \delta$이면 $d_Y(f(x), f(p)) < \varepsilon_0$.
$N_\delta(p) \subset f^{-1}(V)$를 보인다. $z \in N_\delta(p)$이면 $d(z, p) < \delta$, 즉 $f(z) \in N_{\varepsilon_0}(f(p)) \subset V$, 즉 $z \in f^{-1}(V)$. 따라서 $p$는 $f^{-1}(V)$의 내부점, 즉 $f^{-1}(V)$가 열림.
($\Leftarrow$) $p \in X$, $\varepsilon > 0$을 주자. $N_\varepsilon(f(p))$은 THM 2.33에 의해 열림. 가정에 의해 $f^{-1}(N_\varepsilon(f(p)))$는 열림. $p \in f^{-1}(N_\varepsilon(f(p)))$ ($f(p) \in N_\varepsilon(f(p))$이므로)이므로 $\delta > 0$이 존재하여 $N_\delta(p) \subset f^{-1}(N_\varepsilon(f(p)))$.
모든 $x$, $d_X(x, p) < \delta$에 대해 $x \in N_\delta(p) \subset f^{-1}(N_\varepsilon(f(p)))$, 즉 $f(x) \in N_\varepsilon(f(p))$, 즉 $d_Y(f(x), f(p)) < \varepsilon$. 따라서 $f$는 $p$에서 연속.
$f: X \to Y$ is continuous on $X$ iff $f^{-1}(V)$ is open in $X$ for every open $V \subset Y$.
($\Rightarrow$) $f(p) \in V$ open gives $\varepsilon_0$; continuity gives $\delta$ with $f(N_\delta(p)) \subset N_{\varepsilon_0}(f(p)) \subset V$, so $N_\delta(p) \subset f^{-1}(V)$.
($\Leftarrow$) For $p \in X$, $\varepsilon > 0$, apply to $N_\varepsilon(f(p))$ open; $f^{-1}(\cdot)$ open, contains $p$, so $\exists \delta$ giving continuity. $\square$
$(X, d_X), (Y, d_Y)$가 거리 공간, $f: X \to Y$라 하자. $f$가 $X$에서 연속일 필요충분조건은 $Y$의 모든 닫힌 집합 $C$에 대해 $f^{-1}(C)$가 $X$에서 닫힌 것이다.
COR 2.41에 의해 $C$가 닫힘 $\iff$ $C^c$가 열림. 유사하게 $f^{-1}(C)$가 닫힘 $\iff$ $(f^{-1}(C))^c = f^{-1}(C^c)$가 열림.
따라서 $f^{-1}(C)$가 모든 닫힌 $C$에 대해 닫힘 $\iff$ $f^{-1}(C^c)$가 모든 $C$에 대해 열림 $\iff$ $f^{-1}(V)$가 모든 열린 $V$에 대해 열림 $\iff$ $f$ 연속 (THM 4.13).
$f$ continuous iff $f^{-1}(C)$ closed for every closed $C \subset Y$.
Via complements: $(f^{-1}(C))^c = f^{-1}(C^c)$, open iff closed preimage condition equivalent to THM 4.13. $\square$
$(X, d_X)$가 거리 공간, $E \subset X$, $k \in \mathbb{N}$이라 하자. $f: E \to \mathbb{R}^k$가 $E$에서 유계(bounded)라는 것은 양수 $M$이 존재하여
가 성립하는 것이다.
$f: E \to \mathbb{R}^k$ is bounded on $E$ if there is $M > 0$ with $|f(x)| \leq M$ for all $x \in E$.
콤팩트에서의 연속 · Continuity on Compact Sets
$(X, d_X), (Y, d_Y)$가 거리 공간, $f: X \to Y$라 하자. $f$가 $X$에서 연속이고 $X$가 콤팩트이면 $f(X)$는 콤팩트이다.
$\{V_\alpha : \alpha \in A\}$를 $f(X)$의 열린 덮개라 하자. 유한 부분 덮개를 찾으면 된다.
$f$가 연속이므로 THM 4.13에 의해 각 $\alpha$에 대해 $f^{-1}(V_\alpha)$는 $X$에서 열림.
$f(X) \subset \bigcup_\alpha V_\alpha$이므로
$\{f^{-1}(V_\alpha)\}$는 $X$의 열린 덮개. $X$가 콤팩트이므로 유한 부분 덮개 $\{f^{-1}(V_{\alpha_1}), \ldots, f^{-1}(V_{\alpha_N})\}$이 존재하여 $X \subset \bigcup_{n=1}^N f^{-1}(V_{\alpha_n})$. 따라서
$\{V_{\alpha_1}, \ldots, V_{\alpha_N}\}$이 유한 부분 덮개.
If $f: X \to Y$ is continuous and $X$ compact, then $f(X)$ is compact.
Let $\{V_\alpha\}$ cover $f(X)$. By THM 4.13, $\{f^{-1}(V_\alpha)\}$ covers $X$; compactness gives finite subcover $\{f^{-1}(V_{\alpha_i})\}$. Then $f(X) \subset \bigcup V_{\alpha_i}$. $\square$
$(X, d)$가 거리 공간, $k \in \mathbb{N}$, $f: X \to \mathbb{R}^k$가 연속이고 $X$가 콤팩트이면 $f$는 $X$에서 유계이다.
THM 4.17에 의해 $f(X)$는 콤팩트. 하이네-보렐 정리(THM 2.84)에 의해 $\mathbb{R}^k$에서 $f(X)$는 닫혀있고 유계. 유계이므로 $y_0 \in \mathbb{R}^k$과 $M_0 > 0$이 존재하여 $|y - y_0| < M_0$ ($\forall y \in f(X)$).
$M := M_0 + |y_0|$으로 놓자. $y = f(x) \in f(X)$에 대해 삼각부등식으로
If $f: X \to \mathbb{R}^k$ continuous and $X$ compact, $f$ is bounded.
$f(X)$ compact (THM 4.17), so bounded in $\mathbb{R}^k$ by Heine–Borel (THM 2.84): $|y - y_0| < M_0$. Take $M = M_0 + |y_0|$. $\square$
실수열의 극한과 sup/inf · Real Sequences and Supremum/Infimum
$\{p_n\}$이 $\mathbb{R}$ 안의 수열이라 하자.
란 모든 $M > 0$에 대해 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여 모든 $n \geq N$에 대해 $p_n \geq M$인 것이다. 유사하게
란 모든 $M < 0$에 대해 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여 모든 $n \geq N$에 대해 $p_n \leq M$인 것이다.
$\lim p_n = \infty$ iff $\forall M > 0$ $\exists N$: $p_n \geq M$ for $n \geq N$. Similarly $\lim p_n = -\infty$ iff $\forall M < 0$ $\exists N$: $p_n \leq M$ for $n \geq N$.
$E \subset \mathbb{R}$이 공집합이 아니라 하자.
(a) $E$ 안의 수열 $\{p_n\}$이 존재하여 $\lim p_n = \sup E$ (확장 실수계에서).
(b) $E$ 안의 수열 $\{q_n\}$이 존재하여 $\lim q_n = \inf E$.
(a)만 증명 (b 대칭).
(Case 1) $\sup E \in \mathbb{R}$. 각 $n \in \mathbb{N}$에 대해 LEM 3.37(a)로 $p_n \in E$가 존재하여 $\sup E - 1/n < p_n \leq \sup E$. 따라서 $|p_n - \sup E| < 1/n$이고 EX 3.17에 의해 $\lim p_n = \sup E$.
(Case 2) $\sup E \notin \mathbb{R}$. $E \neq \emptyset$이므로 $\sup E = +\infty$ (만약 $\sup E = -\infty$이면 $E = \emptyset$에 모순). 따라서 임의의 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $p_n \in E$가 존재하여 $p_n > n$ (왜냐하면 $n$은 $E$의 상계가 아님). 모든 $M > 0$에 대해 $n \geq M$이면 $p_n > n \geq M$, 즉 $\lim p_n = \infty$.
Let $E \subset \mathbb{R}$, $E \neq \emptyset$. (a) $\exists \{p_n\}$ in $E$ with $\lim p_n = \sup E$. (b) $\exists \{q_n\}$ in $E$ with $\lim q_n = \inf E$.
(a) If $\sup E \in \mathbb{R}$, pick $p_n \in E$ with $\sup E - 1/n < p_n$ (LEM 3.37); EX 3.17 gives limit. If $\sup E = +\infty$, pick $p_n > n$. $\square$
$\{a_n\}$이 $\mathbb{R}$ 안의 수열이고 $M \in \mathbb{R}$이라 하자. $\{a_n\}$이 $\mathbb{R}$에서 수렴하고 모든 $n$에 대해 $a_n \leq M$이면 $\lim a_n \leq M$.
귀류법. $a := \lim a_n > M$이라 하자. $\varepsilon_0 := a - M > 0$.
$\lim a_n = a$이므로 $N$이 존재하여 $n \geq N$이면 $|a_n - a| < \varepsilon_0$, 즉 $a_n - a > -\varepsilon_0$, 즉
이는 $a_n \leq M$에 모순.
If $\{a_n\}$ converges in $\mathbb{R}$ and $a_n \leq M$ for all $n$, then $\lim a_n \leq M$.
Suppose $a := \lim a_n > M$. With $\varepsilon_0 = a - M$, $|a_n - a| < \varepsilon_0$ for $n \geq N$ gives $a_n > M$ — contradiction. $\square$
$E \subset \mathbb{R}$이 공집합이 아니고 $\sup E, \inf E \in \mathbb{R}$이라 하자. 그러면 $\sup E, \inf E \in \overline{E}$.
$\sup E \in \overline{E}$만 증명.
LEM 4.21에 의해 $E$ 안의 수열 $\{a_n\}$이 존재하여 $\lim a_n = \sup E$.
(Case 1) 집합 $\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$이 무한. 그러면 $\sup E$는 $\{a_n\}$의 극한이고 $\{a_n\} \subset E$이므로 $\sup E$는 $E$의 극한점 (EX 4.24의 내용). 따라서 $\sup E \in E' \subset \overline{E}$.
(Case 2) $\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$이 유한. $\{a_n : n\in\mathbb{N}\} = \{\tilde a_1, \ldots, \tilde a_N\}$. 어떤 $n_0$에 대해 $\max\{\tilde a_1,\ldots,\tilde a_N\} = a_{n_0}$. $\{\tilde a_i\} \subset E$이므로 $\max \leq \sup E$. 한편 $a_n \to \sup E$이고 $a_n \leq \max\{\tilde a_i\}$이므로 LEM 4.22에 의해 $\sup E \leq \max\{\tilde a_i\}$. 따라서 $\sup E = \max\{\tilde a_i\} = a_{n_0} \in E \subset \overline{E}$.
If $E \subset \mathbb{R}$, $E \neq \emptyset$, and $\sup E, \inf E \in \mathbb{R}$, then $\sup E, \inf E \in \overline{E}$.
By LEM 4.21 $\exists \{a_n\} \subset E$ with $a_n \to \sup E$. If range infinite, $\sup E$ is a limit point (EX 4.24). If finite, $\sup E$ equals max, which is in $E$. $\square$
$X$가 공집합이 아닌 거리 공간, $f: X \to \mathbb{R}$이라 하자.
$f$가 $X$에서 연속이고 $X$가 콤팩트이면 $p, q \in X$가 존재하여
$f(p) = M$만 증명.
THM 4.17에 의해 $f(X) \subset \mathbb{R}$은 콤팩트. 하이네-보렐 정리에 의해 $f(X)$는 닫히고 유계. $f(X)$가 닫힘이므로 $f(X) = \overline{f(X)}$.
$f(X)$가 유계이므로 $M = \sup f(X) \in \mathbb{R}$. LEM 4.25에 의해 $M \in \overline{f(X)} = f(X)$. 따라서 $f(p) = M$인 $p \in X$가 존재.
If $f: X \to \mathbb{R}$ continuous, $X$ nonempty compact, then $\exists p, q \in X$ with $f(p) = \sup f$, $f(q) = \inf f$.
$f(X)$ compact (THM 4.17), closed and bounded. $M = \sup f(X) \in \overline{f(X)} = f(X)$ by LEM 4.25. So $M = f(p)$ for some $p$. $\square$
$X$가 콤팩트 거리 공간이고 $f$가 $X$에서 $\mathbb{R}$로의 연속 사상이라 하자. 그러면 $\max\{f(x) : x \in X\}$와 $\min\{f(x) : x \in X\}$가 모두 존재한다.
If $X$ compact metric, $f: X \to \mathbb{R}$ continuous, then $\max f$ and $\min f$ exist.
$X, Y$가 거리 공간, $f: X \to Y$가 onto라 하자. $X$가 콤팩트, $f$가 1-1이고 $X$에서 연속이면 역사상 $f^{-1}: Y \to X$ (단, $f^{-1}(f(x)) = x$)는 $Y$에서 $X$로의 연속 사상이다.
COR 4.14에 의해 $f^{-1}$의 연속성을 증명하려면 $X$의 모든 닫힌 집합 $C$에 대해 $(f^{-1})^{-1}(C)$가 $Y$에서 닫힘임을 보이면 된다.
$(f^{-1})^{-1}(C) = \{y \in Y : f^{-1}(y) \in C\} = \{f(x) : x \in C\} = f(C)$.
$C$가 닫힘이고 $X \subset X$가 콤팩트이므로 THM 2.65에 의해 $C$는 콤팩트. THM 4.17에 의해 $f(C)$도 콤팩트. THM 2.63에 의해 $f(C)$는 닫힘.
If $X$ compact, $f: X \to Y$ bijective and continuous, then $f^{-1}$ is continuous.
By COR 4.14, show $(f^{-1})^{-1}(C) = f(C)$ closed for closed $C$. Closed subset $C$ of compact $X$ is compact (THM 2.65); image $f(C)$ is compact (THM 4.17), hence closed (THM 2.63). $\square$
균등연속 · Uniform Continuity
$(X, d_X), (Y, d_Y)$가 거리 공간, $f: X \to Y$라 하자. $f$가 $X$에서 균등연속(uniformly continuous)이라는 것은 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $\delta > 0$이 존재하여 $d_X(p, q) < \delta$를 만족하는 모든 $p, q \in X$에 대해
이 성립하는 것이다.
$f: X \to Y$ is uniformly continuous on $X$ if for every $\varepsilon > 0$ there exists $\delta > 0$ such that $d_Y(f(p), f(q)) < \varepsilon$ for all $p, q \in X$ with $d_X(p, q) < \delta$.
$f$가 $X$에서 연속이면 임의의 $p \in X$와 $\varepsilon > 0$에 대해 $\delta(\varepsilon, p) > 0$이 존재하여 $d_X(p, q) < \delta$이면 $d_Y(f(p), f(q)) < \varepsilon$이다. 여기서 $\delta$는 $\varepsilon$과 점 $p$ 모두에 의존할 수 있다.
반면 DEF 4.33에서 $\delta > 0$은 $\varepsilon$에만 의존하고, 점 $p \in X$와는 독립이다. 이것이 "균등(uniform)"의 의미이다.
Continuity: $\delta = \delta(\varepsilon, p)$ depends on both $\varepsilon$ and $p$. Uniform continuity: $\delta = \delta(\varepsilon)$ depends only on $\varepsilon$, independent of points. "Uniform" = same $\delta$ works everywhere.
$f(x) = x$ ($\forall x \in \mathbb{R}$)로 정의하면 $f$는 $\mathbb{R}$에서 균등연속이다 ($\delta = \varepsilon$).
잘 알려져 있듯이 지수함수
는 $\mathbb{R}$에서 $(0, \infty)$로의 연속 1-1 대응이다. THM 4.32에 의해 역함수는 $(0, \infty)$에서 $\mathbb{R}$로의 연속 사상이며, 이를 로그함수(logarithm function)라 하고 $\ln x$ 또는 $\log x$로 쓴다. $\log x$는 $(0, \infty)$에서 연속이지만 $(0, \infty)$에서 균등연속이 아니다.
$f(x) = x$ is uniformly continuous on $\mathbb{R}$ ($\delta = \varepsilon$). The exponential $e^x = \sum x^i/i!$ is continuous bijection $\mathbb{R} \to (0, \infty)$; its inverse $\log x$ is continuous on $(0, \infty)$ (by THM 4.32) but not uniformly continuous.