유한, 가산, 비가산 · Finite, Countable, Uncountable
문제. 대등 관계 $\sim$의 세 성질(반사적, 대칭적, 추이적)을 증명하라.
증명. (i) 반사적: 항등 함수 $f: A \to A$, $f(x) = x$는 1-1 대응이므로 $A \sim A$.
(ii) 대칭적: $A \sim B$이면 1-1 대응 $f: A \to B$가 존재. $f^{-1}: B \to A$도 1-1 대응이므로 $B \sim A$.
(iii) 추이적: $A \sim B$, $B \sim C$이면 1-1 대응 $f: A \to B$, $g: B \to C$ 존재. $g \circ f: A \to C$도 1-1 대응이므로 $A \sim C$.
Problem. Prove the three properties of the relation $\sim$ above (reflexive, symmetric, transitive).
Proof. (i) Reflexive: The identity $f(x) = x$ is a 1-1 map from $A$ onto $A$.
(ii) Symmetric: If $f: A \to B$ is bijection, then $f^{-1}: B \to A$ is bijection.
(iii) Transitive: If $f: A \to B$ and $g: B \to C$ are bijections, then $g \circ f: A \to C$ is bijection. $\square$
문제. $A$를 무한 집합이라 하자. $A$의 원소의 개수가 무한임을 보여라.
증명. $A$가 유한이면 $A \sim J_n$ 또는 $A = \emptyset$이다. 이 경우 $A$의 원소 수는 $n$ 또는 $0$이므로 유한이다. $A$가 무한이면 어떤 $n$에 대해서도 $A \sim J_n$이 성립하지 않으므로, 임의의 양의 정수 $n$에 대해 $|A| > n$이다. 따라서 $A$의 원소의 개수는 무한이다.
Problem. Let $A$ be an infinite set. Show that the number of elements of $A$ is infinite.
Proof. If $A$ were finite, then $A \sim J_n$ for some $n$. Since $A$ is infinite, $A \not\sim J_n$ for any $n$, so $|A| > n$ for every positive integer $n$. $\square$
문제. $A$를 유한 집합이고 $B \subset A$, $B \neq A$라 하자. $A$와 $B$가 대등할 수 없음을 보여라.
증명. $A \sim J_n$이라 하자. $B \subsetneq A$이므로 $|B| < n$이다. 따라서 $B \sim J_m$ ($m < n$). $J_n \not\sim J_m$ ($m < n$)이므로 $A \not\sim B$.
Problem. Let $A$ be a finite set and $B$ be a proper subset of $A$, that is, $B \subset A$ and $B \neq A$. Show that $A$ and $B$ cannot be equivalent.
Proof. Since $A$ is finite, $A \sim J_n$. Since $B \subsetneq A$, $|B| = m < n$, so $B \sim J_m$. Since $J_n \not\sim J_m$ for $m < n$, we have $A \not\sim B$. $\square$
문제. $A$를 가산 집합이라 하자. $A$가 무한임을 보여라.
증명. $A \sim \mathbb{N}$이다. $\mathbb{N}$이 무한이므로 $A$도 무한이다. ($\mathbb{N}$이 유한이라면 $\mathbb{N} \sim J_n$인 $n$이 존재해야 하지만, $J_n$의 원소 수는 $n$이고 $\mathbb{N}$은 $n$보다 많은 원소를 항상 가지므로 모순.)
Problem. Let $A$ be a countable set. Show that $A$ is infinite.
Proof. $A \sim \mathbb{N}$. Since $\mathbb{N}$ is infinite (it cannot be equivalent to $J_n$ for any $n$), $A$ is also infinite. $\square$
문제. 따름정리 2.18을 증명하라. (기껏해야 가산인 집합들의 기껏해야 가산인 합집합은 기껏해야 가산이다.)
증명. $A$가 기껏해야 가산이고, 각 $\alpha \in A$에 대해 $B_\alpha$가 기껏해야 가산이라 하자. $A$가 유한이면 유한 개의 기껏해야 가산 집합의 합집합이므로 기껏해야 가산. $A$가 가산이면, 각 $B_\alpha$가 유한이거나 가산이다. 가산인 것들의 합집합은 Thm 2.17에 의해 가산. 유한인 것들의 합집합은 기껏해야 가산. 전체 합집합은 이들의 합집합이므로 기껏해야 가산.
Problem. Prove Corollary 2.18. (An at most countable union of at most countable sets is at most countable.)
Proof. If $A$ is finite, then $\bigcup B_\alpha$ is a finite union of at most countable sets, hence at most countable. If $A$ is countable, split into countable and finite $B_\alpha$'s. Countable union of countable sets is countable by Thm 2.17. Adding finite sets preserves at most countability. $\square$
문제. $A$를 가산 집합이라 하자. 각 $\alpha \in A$에 대해 가산 집합 $E_\alpha$가 존재한다. $\bigcup_{\alpha \in A} E_\alpha$가 가산임을 보여라.
증명. $A$가 가산이므로 $A = \{a_1, a_2, \ldots\}$. 각 $E_{a_n}$이 가산이므로 Thm 2.17에 의해 $\bigcup_{n=1}^{\infty} E_{a_n}$은 가산이다.
Problem. Let $A$ be a countable set. Assume that for each $\alpha \in A$, there exists a countable set $E_\alpha$. Show that $\bigcup_{\alpha \in A} E_\alpha$ is a countable set.
Proof. Since $A$ is countable, $A = \{a_1,a_2,\ldots\}$. Each $E_{a_n}$ is countable, so by Thm 2.17, $\bigcup E_{a_n}$ is countable. $\square$
문제. 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$이 비가산임을 보여라.
증명. Thm 2.23에서 $\{0,1\}$-수열 전체의 집합 $A$가 비가산임을 보였다. 각 수열 $(s_n) \in A$에 대해 실수 $\sum_{n=1}^{\infty} s_n / 2^n \in [0,1]$을 대응시키면, 이 함수는 $A$에서 $[0,1]$로의 전사가 아닐 수 있지만, $A$를 $[0,1]$의 부분집합과 1-1로 대응시킬 수 있다. $A$가 비가산이므로 $[0,1]$도 비가산이고, 따라서 $\mathbb{R}$도 비가산이다.
Problem. Show that the real number system $\mathbb{R}$ is uncountable.
Proof. By Thm 2.23, the set $A$ of all $\{0,1\}$-sequences is uncountable. The map $(s_n) \mapsto \sum s_n/2^n$ embeds $A$ into $[0,1]$. Since $A$ is uncountable, $[0,1]$ is uncountable, hence $\mathbb{R}$ is uncountable. $\square$
거리 공간의 위상 · Topology of Metric Spaces
문제. $k$-cell이 볼록(convex)임을 보여라.
증명. $I = [a_1,b_1] \times \cdots \times [a_k,b_k]$를 $k$-cell이라 하자. $x, y \in I$이고 $0 < \lambda < 1$이면, 각 $i$에 대해 $a_i \leq x_i \leq b_i$이고 $a_i \leq y_i \leq b_i$이므로, $a_i \leq \lambda x_i + (1-\lambda)y_i \leq b_i$이다. 따라서 $\lambda x + (1-\lambda)y \in I$.
Problem. Show that $k$-cells are convex.
Proof. Let $I = [a_1,b_1]\times\cdots\times[a_k,b_k]$. For $x,y \in I$ and $0 < \lambda < 1$, each coordinate satisfies $a_i \leq \lambda x_i + (1-\lambda)y_i \leq b_i$, so $\lambda x + (1-\lambda)y \in I$. $\square$
문제. 유리수 전체의 집합 $\mathbb{Q}$가 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$에서 조밀함을 보여라.
증명. 임의의 $x \in \mathbb{R}$과 $r > 0$에 대해, $(x-r, x+r)$ 안에 유리수가 존재함을 보이면 된다. 유리수의 조밀성(Thm 1.20의 결과)에 의해, $x - r < p < x + r$인 유리수 $p$가 존재한다. 따라서 $p \in N_r(x) \cap \mathbb{Q}$이므로, $x$는 $\mathbb{Q}$의 극한점이거나 $\mathbb{Q}$의 원소이다.
Problem. Show that the rational number system $\mathbb{Q}$ is dense in the real number system $\mathbb{R}$.
Proof. For any $x \in \mathbb{R}$ and $r > 0$, by the density of rationals (consequence of Thm 1.20), there exists $p \in \mathbb{Q}$ with $x - r < p < x + r$. So every neighborhood of $x$ contains a rational, meaning $x$ is a limit point of $\mathbb{Q}$ or a member of $\mathbb{Q}$. $\square$
문제. Example 2.36의 집합 $E = \{1/n : n \in \mathbb{N}\}$에 대한 다음 성질들을 증명하라: (a) $E$의 극한점은 0 하나뿐이다, (b) $E$의 내점은 없다, (c) $E$는 닫혀있지 않다, (d) $E$는 열려있지 않다, (e) $E$는 완전이 아니다.
증명. (a) 임의의 $r > 0$에 대해 아르키메데스 성질에 의해 $1/n < r$인 $n$이 존재하므로 $1/n \in N_r(0) \cap E$. 따라서 $0$은 극한점. 다른 점 $x \neq 0$의 경우: $x \notin E$이면 ($x < 0$ 또는 $x > 1$ 또는 $1/(n+1) < x < 1/n$인 경우) 충분히 작은 근방이 $E$와 만나지 않는다. $x = 1/n \in E$이면 $N_r(1/n)$에서 $r = \min\{1/n - 1/(n+1), 1/(n-1) - 1/n\}/2$로 잡으면 다른 $E$의 점이 없다.
(b) 임의의 $1/n \in E$에 대해, 어떤 $r > 0$이든 $N_r(1/n)$에는 무리수가 포함되어 $N_r(1/n) \not\subset E$.
(c) $0$은 극한점이지만 $0 \notin E$.
(d) 내점이 없으므로.
(e) 닫혀있지 않으므로 완전이 아니다.
Problem. For $E = \{1/n : n \in \mathbb{N}\}$, prove: (a) $E$ has only one limit point: 0, (b) $E$ has no interior point, (c) $E$ is not closed, (d) $E$ is not open, (e) $E$ is not perfect.
Proof. (a) For any $r > 0$, there exists $n$ with $1/n < r$, so $0$ is a limit point. No other point is a limit point (isolated).
(b) No neighborhood of $1/n$ is contained in $E$.
(c) $0$ is a limit point but $0 \notin E$.
(d) No interior points.
(e) Not closed. $\square$
문제. (a) $d(x,y) = |x - y|$가 $\mathbb{R}$에서의 거리임을 상기하라. Thm 2.33에 의해 $E_1 = (a,b)$는 $\mathbb{R}$에서 열려있음을 보여라. (b) $(a,b) = (a,b) \times \{0\}$으로 보면 $E_2$는 $\mathbb{R}^2$에서 열려있지 않음을 보여라.
증명. (a) $x \in (a,b)$이면 $r = \min\{x-a, b-x\} > 0$으로 놓으면 $N_r(x) = (x-r, x+r) \subset (a,b)$.
(b) $\mathbb{R}^2$에서 $(x,0) \in E_2$의 근방 $N_r(x,0)$은 $(x, r/2)$를 포함하는데, $(x, r/2) \notin E_2$. 따라서 내점이 아니다.
Problem. (a) Recall $d(x,y)=|x-y|$ is a metric in $\mathbb{R}$. Show $E_1=(a,b)$ is open in $\mathbb{R}$. (b) Any point of $E_2 = (a,b) \times \{0\}$ is not an interior point of $E_2$ in $\mathbb{R}^2$.
Proof. (a) For $x \in (a,b)$, set $r = \min\{x-a, b-x\}$. Then $N_r(x) \subset (a,b)$.
(b) For $(x,0) \in E_2$, any $N_r(x,0)$ in $\mathbb{R}^2$ contains $(x,r/2) \notin E_2$. $\square$
문제. 정리 2.43의 (d)를 증명하라. (유한 개의 닫힌 집합의 합집합은 닫혀있다.)
증명. 따름정리 2.41에 의해 $F$가 닫혀있으면 $F^c$가 열려있다. $F_1, \ldots, F_n$이 닫혀있으면, 정리 2.43(a)에 의해 $(F_1 \cup \cdots \cup F_n)^c = F_1^c \cap \cdots \cap F_n^c$. Lemma 2.42에 의해 $(\bigcup F_i)^c = \bigcap F_i^c$. 각 $F_i^c$가 열려있고, 정리 2.43(c)에 의해 유한 교집합 $\bigcap F_i^c$도 열려있다. 따라서 $(\bigcup F_i)^c$가 열려있으므로 $\bigcup F_i$는 닫혀있다.
Problem. Prove (d) in Theorem 2.43. (A finite union of closed sets is closed.)
Proof. By Cor 2.41, each $F_i^c$ is open. By De Morgan, $(\bigcup F_i)^c = \bigcap F_i^c$. By Thm 2.43(c), finite intersection of open sets is open. So $(\bigcup F_i)^c$ is open, hence $\bigcup F_i$ is closed. $\square$
문제. 닫힌 집합들의 수열 $F_1, F_2, \ldots$에 대해 $\bigcup_{n=1}^{\infty} F_n$이 반드시 닫혀있는지 증명하거나 반례를 들어라. 열린 집합들에 대해서도 마찬가지.
증명. 반례: $F_n = [1/n, 1-1/n]$은 닫혀있지만 $\bigcup F_n = (0,1)$은 열려있고 닫혀있지 않다. 따라서 닫힌 집합들의 가산 합집합이 반드시 닫혀있는 것은 아니다.
Problem. Prove or disprove that for a sequence of closed sets $F_1, F_2, \ldots$, $\bigcup F_n$ is closed or open.
Proof. Counterexample: $F_n = [1/n, 1-1/n]$ are closed but $\bigcup F_n = (0,1)$ is open, not closed. $\square$
문제. 따름정리 2.49를 증명하라.
증명. $x \notin \bar{E} = E \cup E'$이면, $x \notin E$이고 $x \notin E'$. $x$가 $E$의 극한점이 아니므로 Lem 2.39에 의해 $N_r(x) \cap E = \emptyset$인 $r$이 존재. Lem 2.48에 의해 $N_r(x) \cap E' = \emptyset$. 따라서 $N_r(x) \cap \bar{E} = \emptyset$.
Problem. Prove Corollary 2.49.
Proof. If $x \notin \bar{E}$, then $x \notin E$ and $x \notin E'$. By Lem 2.39, $N_r(x) \cap E = \emptyset$. By Lem 2.48, $N_r(x) \cap E' = \emptyset$. So $N_r(x) \cap \bar{E} = \emptyset$. $\square$
콤팩트 집합 · Compact Sets
문제. 다음을 증명하거나 반증하라: (a) $N_r^Y(p)$는 $Y$에서의 근방이다. (b) $N_r^X(p)$는 $X$에서의 열린 집합이지만 $Y$에서의 열린 집합은 아닐 수 있다.
증명. (a) $N_r^Y(p) = N_r^X(p) \cap Y$이고, Thm 2.55에 의해 $N_r^X(p)$는 $X$에서 열려있으므로 $N_r^Y(p)$는 $Y$에서 열려있다.
(b) 반례: $X = \mathbb{R}$, $Y = [0,1]$이면 $N_1^X(0) = (-1,1)$은 $X$에서 열려있지만 $N_1^X(0) \cap Y = [0,1)$은 $Y$에서 열려있다 (Thm 2.55). 하지만 $N_1^X(0)$ 자체는 $Y$의 부분집합이 아니다.
Problem. Prove or disprove: (a) $N_r^Y(p)$ is a neighborhood in $Y$. (b) $N_r^X(p)$ is open in $X$ but may not be open in $Y$.
Proof. (a) $N_r^Y(p) = N_r^X(p) \cap Y$, open in $Y$ by Thm 2.55.
(b) Example: $X=\mathbb{R}$, $Y=[0,1]$, $N_1^X(0)=(-1,1)$ is not a subset of $Y$. $\square$
문제. $(X,d)$를 거리 공간, $Y \subset X$라 하자. $E$가 $Y$에서 닫혀있다는 것은 $E = Y \cap F$인 $X$에서 닫힌 집합 $F$가 존재하는 것과 동치임을 보여라. $X$에 대해 닫힌 집합들과 $Y$에 대해 닫힌 집합들을 비교하라.
증명. $E$가 $Y$에서 닫혀있다 $\iff$ $Y \setminus E$가 $Y$에서 열려있다 $\iff$ (Thm 2.55) $Y \setminus E = Y \cap G$ for some open $G \subset X$ $\iff$ $E = Y \setminus (Y \cap G) = Y \cap G^c$. $G^c$가 $X$에서 닫혀있으므로 $E = Y \cap F$ ($F = G^c$ closed in $X$).
Problem. We say that $E$ is closed relative to $Y$ if $E$ is a closed set in the metric space $(Y,d)$. Compare the closed sets relative to $X$ and the closed sets relative to $Y$.
Proof. $E$ closed in $Y$ $\iff$ $Y\setminus E$ open in $Y$ $\iff$ $Y\setminus E = Y \cap G$ for open $G$ in $X$ $\iff$ $E = Y \cap G^c$ where $G^c$ is closed in $X$. $\square$
문제. $E$의 $Y$에 대한 유한 부분 덮개를 정의하라.
증명. $E \subset Y \subset X$에서 $E$의 $Y$에 대한 열린 덮개가 $\{G_\alpha' : \alpha \in A\}$ ($G_\alpha'$는 $Y$에서 열린 집합)이라 하자. 유한 부분 덮개란 유한 개의 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in A$가 존재하여 $E \subset G_{\alpha_1}' \cup \cdots \cup G_{\alpha_n}'$인 것이다.
Problem. Define a finite subcover of $E$ relative to $Y$.
Proof. Given an open cover $\{G_\alpha'\}$ of $E$ relative to $Y$, a finite subcover is a finite subcollection $G_{\alpha_1}',\ldots,G_{\alpha_n}'$ such that $E \subset G_{\alpha_1}' \cup \cdots \cup G_{\alpha_n}'$. $\square$
문제. $X$를 거리 공간, $K \subset X$를 콤팩트, $p \in K^c$, $q \in K$라 하자. $\delta = \frac{1}{2}d(p,q)$로 놓으면 $N_\delta(p)$와 $N_\delta(q)$가 서로소(disjoint)임을 보여라. 또한 모든 $0 < \epsilon < \frac{1}{2}d(p,q)$에 대해서도 같은 결론이 성립함을 보여라.
증명. $x \in N_\epsilon(p) \cap N_\epsilon(q)$가 존재한다고 가정하면, 삼각부등식에 의해 $d(p,q) \leq d(p,x) + d(x,q) < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon \leq d(p,q)$. 이는 모순이다.
Problem. Let $X$ be a metric space, $K \subset X$, $p \in K^c$, and $q \in K$. Show that for all $0 < \epsilon \leq \frac{1}{2}d(p,q)$, $N_\epsilon(p)$ and $N_\epsilon(q)$ are disjoint.
Proof. If $x \in N_\epsilon(p) \cap N_\epsilon(q)$, then $d(p,q) \leq d(p,x) + d(x,q) < 2\epsilon \leq d(p,q)$, contradiction. $\square$
문제. $\{K_\alpha : \alpha \in A\}$를 거리 공간 $X$의 닫힌 부분집합들의 모임이라 하자. 모든 유한 부분 모임의 교집합이 공집합이 아니면, $\bigcap_{\alpha \in A} K_\alpha \neq \emptyset$이 반드시 성립하는가? 증명하거나 반증하라.
증명. 반드시 성립하지는 않는다. 반례: $K_n = [n, \infty)$는 $\mathbb{R}$에서 닫혀있고, 임의의 유한 모임의 교집합 $K_{n_1} \cap \cdots \cap K_{n_k} = [N, \infty) \neq \emptyset$ ($N = \max n_i$). 그러나 $\bigcap_{n=1}^{\infty} K_n = \emptyset$이다. (콤팩트성이 필수적임을 보여준다.)
Problem. Let $\{K_\alpha\}$ be a collection of closed subsets of $X$. Assume finite intersection property. Prove or disprove $\bigcap K_\alpha \neq \emptyset$.
Proof. Not necessarily. Counterexample: $K_n = [n,\infty)$ are closed in $\mathbb{R}$, every finite intersection is nonempty, but $\bigcap K_n = \emptyset$. (Compactness is essential in Thm 2.67.) $\square$
문제. $\{K_\alpha : \alpha \in A\}$를 거리 공간 $X$의 열린 부분집합들의 모임이라 하자. 모든 유한 부분 모임의 교집합이 공집합이 아니면, $\bigcap_{\alpha \in A} K_\alpha \neq \emptyset$이 반드시 성립하는가?
증명. 반드시 성립하지 않는다. 반례: $G_n = (0, 1/n)$은 열려있고, 유한 교집합 $\bigcap_{i=1}^{k} G_{n_i} = (0, 1/N) \neq \emptyset$. 그러나 $\bigcap_{n=1}^{\infty} G_n = \emptyset$.
Problem. Same as 2.68 but with open sets.
Proof. Not necessarily. Counterexample: $G_n = (0,1/n)$ are open, finite intersections nonempty, but $\bigcap G_n = \emptyset$. $\square$
문제. 따름정리 2.70을 증명하라.
증명. $K_1 \supset K_2 \supset \cdots$이 공집합이 아닌 콤팩트 집합이면, 임의의 유한 부분 모임 $\{K_{n_1}, \ldots, K_{n_m}\}$에 대해 $\bigcap K_{n_i} = K_N$ ($N = \max n_i$)이므로 공집합이 아니다. Thm 2.67에 의해 $\bigcap_{n=1}^{\infty} K_n \neq \emptyset$.
Problem. Prove Corollary 2.70.
Proof. For any finite subcollection $K_{n_1},\ldots,K_{n_m}$, $\bigcap K_{n_i} = K_N \neq \emptyset$ where $N = \max n_i$. By Thm 2.67, $\bigcap K_n \neq \emptyset$. $\square$
문제. $\{[a_n, b_n] : n \in \mathbb{N}\}$를 닫힌 구간의 수열이라 하고 $a_n \leq b_n$, $E = \{b_n : n \in \mathbb{N}\}$로 정의하자. (a) $\inf E \in \bigcap_{n=1}^{\infty} I_n$임을 보여라. (b) $\inf E = \sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$인가?
증명. (a) Thm 2.73의 증명에서, $a_n \leq \sup E \leq b_n$이므로 $\sup E \in \bigcap I_n$. 마찬가지로 $\inf E$에 대해, 모든 $n, m$에 대해 $a_m \leq b_n$이므로 각 $a_m$은 $E$의 하계. 따라서 $a_m \leq \inf E$. 또한 $\inf E \leq b_n$. 따라서 $\inf E \in [a_n, b_n]$ for all $n$.
(b) 반드시 같지는 않다. $[a_n, b_n] = [0, 1/n]$이면 $\sup\{a_n\} = 0$이고 $\inf\{b_n\} = 0$이므로 같다. 하지만 일반적으로는 $\sup\{a_n\} \leq \inf\{b_n\}$이고 등호가 성립하지 않을 수 있다.
Problem. Let $\{[a_n,b_n]\}$ be a sequence of closed intervals with $a_n \leq b_n$ and define $E = \{b_n\}$. (a) Show $\inf E \in \bigcap I_n$. (b) Prove or disprove $\inf E = \sup\{a_n\}$.
Proof. (a) For all $m,n$: $a_m \leq b_n$, so each $a_m$ is a lower bound of $E$. Thus $a_m \leq \inf E \leq b_n$ for all $m,n$, so $\inf E \in [a_n,b_n]$ for all $n$.
(b) In general $\sup\{a_n\} \leq \inf\{b_n\}$; equality need not hold. $\square$
문제. $(X,d)$를 거리 공간, $E \subset X$, $x \in X$라 하자. 양의 상수 $r_0$이 존재하여 모든 $0 < r < r_0$에 대해 $x \neq z$이고 $|x - z| < r$인 $z \in E$가 존재하면, $x$는 $E$의 극한점임을 보여라.
증명. 임의의 근방 $N_r(x)$를 생각하자. $r' = \min\{r, r_0\}$로 놓으면, 가정에 의해 $z \in E$가 존재하여 $z \neq x$이고 $d(x,z) < r' \leq r$. 따라서 $z \in N_r(x) \cap E$이고 $z \neq x$. 이는 모든 근방에 대해 성립하므로 $x$는 극한점이다.
Problem. Let $(X,d)$ be a metric space, $E \subset X$, and $x \in X$. Assume there exists $r_0 > 0$ such that for any $0 < r < r_0$, there exists $z \in E$ such that $z \neq x$ and $|x-z| < r$. Show that $x$ is a limit point of $E$.
Proof. For any $N_r(x)$, let $r' = \min\{r, r_0\}$. By assumption, there exists $z \in E$ with $z \neq x$ and $d(x,z) < r' \leq r$. So every neighborhood of $x$ contains a point of $E$ distinct from $x$. $\square$
하이네-보렐과 바이어슈트라스 · Heine-Borel & Weierstrass
문제. $k \in \mathbb{N}$이고 $E \subset \mathbb{R}^k$가 유계임을 가정하자. $E \subset I$인 $k$-cell $I$가 존재함을 보여라.
증명. $E$가 유계이므로 $M > 0$이 존재하여 모든 $x \in E$에 대해 $|x| < M$. 즉 각 좌표 $|x_i| < M$. $I = [-M, M] \times \cdots \times [-M, M]$ ($k$번)으로 놓으면 $E \subset I$.
Problem. Let $k \in \mathbb{N}$ and $E \subset \mathbb{R}^k$. Assume that $E$ is bounded. Show that there exists a $k$-cell $I$ such that $E \subset I$.
Proof. Since $E$ is bounded, there exists $M > 0$ with $|x| < M$ for all $x \in E$. Then each coordinate $|x_i| < M$, so $E \subset [-M,M]^k$. $\square$
문제. $k \in \mathbb{N}$이고 $E \subset \mathbb{R}^k$가 유계가 아니라고 가정하자. (a) $x_n \in E$이고 $|x_n| > n$인 수열 $x_1, x_2, \ldots$이 존재함을 보여라. (b) 집합 $S = \{x_n : n \in \mathbb{N}\}$이 무한임을 증명하라.
증명. (a) $E$가 유계가 아니므로, 각 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $|x_n| > n$인 $x_n \in E$가 존재한다.
(b) $|x_n| > n$이므로, $n$이 커질수록 $|x_n|$도 커진다. 따라서 유한 개의 점만으로는 모든 $n$에 대해 $|x_n| > n$을 만족시킬 수 없으므로 $S$는 무한이다.
Problem. Let $k \in \mathbb{N}$, $E \subset \mathbb{R}^k$ unbounded. (a) Show there exists a sequence $x_n \in E$ with $|x_n| > n$. (b) Show $S = \{x_n\}$ is infinite.
Proof. (a) Since $E$ is unbounded, for each $n$, there exists $x_n \in E$ with $|x_n| > n$.
(b) Since $|x_n| > n \to \infty$, $S$ must be infinite. $\square$
문제. $k \in \mathbb{N}$, $E \subset K \subset \mathbb{R}^k$이고 $K$가 콤팩트라 하자. 다음 세 명제를 증명하거나 반증하라: (i) $E$의 모든 부분집합은 $E$ 안에 극한점을 가진다, (ii) $E$의 모든 부분집합은 $K$ 안에 극한점을 가진다, (iii) $E$는 콤팩트이다.
증명. (i) 거짓. $E = \{1/n : n \in \mathbb{N}\} \subset K = [0,1]$이면, $E$ 자체가 극한점 $0$을 $E$ 안에 갖지 않는다.
(ii) 참. $E$의 무한 부분집합 $F$에 대해, $F \subset K$이고 $K$가 콤팩트이므로 Thm 2.72에 의해 $F$는 $K$ 안에 극한점을 가진다. (유한이면 극한점이 없으므로 무한인 경우만 고려.)
(iii) 거짓. 위의 $E = \{1/n\}$은 닫혀있지 않으므로($0 \notin E$) 콤팩트가 아니다.
Problem. Let $K$ be compact, $E \subset K$. Prove or disprove: (i) every subset of $E$ has a limit point in $E$, (ii) every subset of $E$ has a limit point in $K$, (iii) $E$ is compact.
Proof. (i) False. $E=\{1/n\} \subset K=[0,1]$: limit point $0 \notin E$.
(ii) True for infinite subsets by Thm 2.72.
(iii) False. Same $E$ is not closed, hence not compact. $\square$