기본 집합론적 개념 · Set-Theoretic Foundations
두 원소 $x, y$에 대하여 순서쌍을 다음과 같이 정의한다:
순서가 중요한 두 원소의 묶음이다. 집합에서는 $\{x, y\} = \{y, x\}$이지만, 순서쌍에서는 $(x, y) \neq (y, x)$이다. 이 차이를 집합론적으로 엄밀히 정의한 것이다.
Let $x$ and $y$ be elements. We define
and call it an ordered pair or ordered 2-tuple.
Let $x$ and $y$ be elements and assume that $x \neq y$. Prove that $(x,y) \neq (y,x)$.
두 집합 $S, T$에 대하여 데카르트 곱을 다음과 같이 정의한다:
두 집합의 원소들을 하나씩 뽑아 짝지어 만들 수 있는 모든 경우의 수를 모아둔 집합이다. 예를 들어 좌표평면은 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$이다.
Let $S$ and $T$ be sets. The Cartesian Product $S \times T$ is the set of all ordered pairs $(x, y)$ such that $x \in S$ and $y \in T$. In other words,
집합 $S$ 위의 이항 관계(binary relation)는 데카르트 곱 $S \times S$의 부분집합이다. 관계 $\mathcal{R}$에 대해
집합 내의 두 원소가 서로 어떤 연관성을 가지는지 정의하는 수학적 도구이다.
Let $S$ be a set. A (binary) relation on $S$ is a subset of the Cartesian product $S \times S$. Let $R$ be a relation on $S$. We say that the relation $R$ is denoted by $\sim$ if
순서와 유계 · Order and Boundedness
집합 $S$ 위의 관계 $<$가 순서(order)이려면 다음 두 조건을 만족해야 한다:
(i) 삼분율(Trichotomy). 임의의 $x, y \in S$에 대해 다음 셋 중 정확히 하나만 성립한다:
(ii) 추이성(Transitivity). $x, y, z \in S$에 대해
원소들끼리 줄을 세울 수 있는 명확한 대소 관계 규칙이다.
Let $S$ be a set. An order on $S$ is a relation on $S$, denoted by $<$, with the following two properties:
(i) If $x \in S$ and $y \in S$ then one and only one of the statements $x < y,\; x = y,\; y < x$ is true.
(ii) Let $x, y, z \in S$. If $x < y$ and $y < z$, then $x < z$.
It is often convenient to write $y > x$ in place of $x < y$. The notation $x \leq y$ indicates that $x < y$ or $x = y$. Due to (i), $x \leq y$ is the negation of $x > y$.
순서(order)가 정의된 집합 $S$를 순서 집합이라 한다.
An ordered set is a set $S$ in which an order is defined.
순서 집합 $S$와 $E \subset S$에 대해
(i) $a \in E$이고 모든 $e \in E$에 대해 $e \leq a$이면 $a$를 $E$의 최댓값(maximum)이라 한다.
(ii) $a \in E$이고 모든 $e \in E$에 대해 $a \leq e$이면 $a$를 $E$의 최솟값(minimum)이라 한다.
집합 안에 실제로 포함되어 있는 가장 큰 원소(최댓값)와 가장 작은 원소(최솟값)이다.
Let $S$ be an ordered set and $E \subset S$.
(i) We say that $a$ is the largest member, the greatest member, or the maximum of $E$ if $a \in E$ and $e \leq a$ for all $e \in E$.
(ii) We say that $a$ is the smallest member, the least member, or the minimum of $E$ if $a \in E$ and $a \leq e$ for all $e \in E$.
순서 집합 $S$와 $E \subset S$에 대해
(i) 어떤 $\beta \in S$가 존재하여 모든 $x \in E$에 대해 $x \leq \beta$이면 $E$는 위로 유계(bounded above)이고, $\beta$를 상계(upper bound)라 한다.
(ii) 어떤 $\beta \in S$가 존재하여 모든 $x \in E$에 대해 $x \geq \beta$이면 $E$는 아래로 유계(bounded below)이고, $\beta$를 하계(lower bound)라 한다.
집합이 무한히 커지거나 작아지지 않고, 일종의 천장(상계)이나 바닥(하계)에 막혀 있다는 뜻이다. 천장이나 바닥은 여러 개일 수 있다.
Let $S$ be an ordered set and $E \subset S$.
(i) If there exists a $\beta \in S$ such that $x \leq \beta$ for all $x \in E$, then we say that $E$ is bounded above, and call $\beta$ an upper bound of $E$.
(ii) If there exists a $\beta \in S$ such that $x \geq \beta$ for all $x \in E$, then we say that $E$ is bounded below, and call $\beta$ a lower bound of $E$.
상한과 하한 · Supremum and Infimum
위로 유계인 $E \subset S$에 대해 $\alpha \in S$가 다음 두 조건을 만족하면
(i) $\alpha$는 $E$의 상계이다.
(ii) $\gamma < \alpha$이면 $\gamma$는 $E$의 상계가 아니다.
$\alpha$를 $E$의 최소상계(least upper bound) 또는 상한(supremum)이라 하고 $\alpha = \sup E$로 표기한다.
무수히 많은 천장들 중에서 가장 낮은 천장이다. 최댓값과 비슷하지만, 상한은 그 집합에 포함되지 않아도 된다.
Let $S$ be an ordered set and $E \subset S$. Assume that $E$ is bounded above and there exists an $\alpha \in S$ with the following properties:
(i) $\alpha$ is an upper bound of $E$.
(ii) If $\gamma < \alpha$ then $\gamma$ is not an upper bound of $E$.
Then $\alpha$ is called the least upper bound of $E$ or the supremum of $E$, written $\alpha = \sup E$.
In other words, $\sup E$ is the smallest member of the set of all upper bounds of $E$.
아래로 유계인 $E \subset S$에 대해 $\alpha \in S$가 다음 두 조건을 만족하면
(i) $\alpha$는 $E$의 하계이다.
(ii) $\gamma > \alpha$이면 $\gamma$는 $E$의 하계가 아니다.
$\alpha$를 $E$의 최대하계(greatest lower bound) 또는 하한(infimum)이라 하고 $\alpha = \inf E$로 표기한다.
무수히 많은 바닥들 중에서 가장 높은 바닥이다.
Let $S$ be an ordered set and $E \subset S$. Assume that $E$ is bounded below and there exists an $\alpha \in S$ with the following properties:
(i) $\alpha$ is a lower bound of $E$.
(ii) If $\gamma > \alpha$ then $\gamma$ is not a lower bound of $E$.
Then $\alpha$ is called the greatest lower bound of $E$ or the infimum of $E$, written $\alpha = \inf E$.
유리수 체계 $\mathbb{Q}$는 $m, n$이 정수이고 $n \neq 0$일 때 $\dfrac{m}{n}$ 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수의 집합이다:
우리가 잘 아는 분수들의 집합이다.
The rational number system denoted by $\mathbb{Q}$ is the set of all numbers of the form $\tfrac{m}{n}$ with $m, n$ integers and $n \neq 0$:
An element of $\mathbb{Q}$ is called a rational number.
Let $A = \{p \in \mathbb{Q} : p > 0,\; p^2 < 2\}$. Since $A$ has upper bounds but $B = \{p \in \mathbb{Q}: p>0, p^2>2\}$ has no smallest member, $A$ has no least upper bound in $\mathbb{Q}$ — a key motivation for $\mathbb{R}$.
최소상계 성질과 실수계 · The Least-Upper-Bound Property & ℝ
순서 집합 $S$가 최소상계 성질(least-upper-bound property)을 가진다는 것은 다음을 의미한다:
$E \subset S$가 공집합이 아니고 위로 유계이면
수 체계에 빈 구멍이 없다는 의미이다. 유리수 $\mathbb{Q}$는 이 성질이 없어서 ($\sqrt{2}$ 같은 빈 구멍이 존재함) 실수 $\mathbb{R}$이 필요해진다.
An ordered set $S$ is said to have the least-upper-bound property if the following is true:
If $E \subset S$, $E$ is not empty, and $E$ is bounded above, then $\sup E$ exists in $S$.
$\mathbb{Q}$ does not have this property (Example 1.15). This gap is precisely why we construct $\mathbb{R}$.
$S$가 최소상계 성질을 가지는 순서 집합이고, $B \subset S$가 공집합이 아니며 아래로 유계라 하자. $L$을 $B$의 모든 하계들의 집합이라 하면:
특히, $\inf B$가 $S$ 안에 존재한다.
$B$가 아래로 유계이므로 $L$은 공집합이 아니다. $L$이 $B$의 모든 하계들의 집합이므로, 임의의 $y \in L$과 $x \in B$에 대해 $y \leq x$가 성립한다.
따라서 모든 $x \in B$는 $L$의 상계이다. $L \subset S$이고 $S$는 최소상계 성질을 가지므로, $\sup L$이 $S$ 안에 존재한다.
이제 $\alpha = \sup L$로 놓자. $\gamma < \alpha$이면 $\gamma$는 $L$의 상계가 아니므로 $\gamma \notin B$이다. 대우를 취하면 $\gamma \in B$이면 $\gamma \geq \alpha$이므로 $\alpha \in L$이다.
마지막으로 $B$의 임의의 하계 $\beta$가 $\beta \leq \alpha$를 만족함을 보인다. 만약 $\beta > \alpha$이면 $\beta \notin L$이므로 $\alpha = \inf B$이다.
집합 $B$의 모든 하계를 모은 집합 $L$의 상한이 곧 $B$의 하한과 같다. 즉, 최소상계 성질(위쪽 구멍 없음)만 있으면 최대하계 성질(아래쪽 구멍 없음)은 덤으로 성립한다.
Let $S$ be an ordered set with the least-upper-bound property and $B \subset S$. Assume that $B$ is not empty and $B$ is bounded below. Let $L$ denote the set of all lower bounds of $B$. Then $\sup L$ exists in $S$ and
In particular, $\inf B$ exists in $S$.
Since $B$ is bounded below, $L$ is not empty. Since $L$ is the set of all lower bounds of $B$, $y \leq x$ for all $y \in L$, $x \in B$. Thus every $x \in B$ is an upper bound of $L$.
Since $L \subset S$ and $S$ has the least-upper-bound property, $\sup L$ exists. Set $\alpha = \sup L$.
If $\gamma < \alpha$, then $\gamma$ is not an upper bound of $L$, thus $\gamma \notin B$. Taking the contrapositive: if $\gamma \in B$, then $\gamma \geq \alpha$, so $\alpha \in L$.
Now let $\beta > \alpha$. Since $\alpha$ is an upper bound of $L$, $\gamma \leq \alpha < \beta$ for all $\gamma \in L$, so $\beta \notin L$. Therefore $\alpha = \inf B$. $\square$
함수와 연산, 대수 구조 · Functions, Operations, Algebraic Structure
집합 $A$의 각 원소 $x$에 집합 $B$의 원소 $f(x)$를 대응시키는 규칙을
라 하고, $A$를 정의역(domain), $B$를 공역(target space)이라 한다. $f(A) = \{f(x) \mid x \in A\}$를 치역(range)이라 한다.
입력값을 넣으면 그에 맞는 출력값을 하나씩 내놓는 자판기이다.
Let $A$ and $B$ be sets. Assume that for each element $x$ of $A$, there is an associated element of $B$, denoted $f(x)$. Then $f$ is said to be a function from $A$ to $B$.
The set $A$ is called the domain, $B$ is the target space, and the elements $f(x)$ are the values of $f$. The set of all values of $f$ is called the range of $f$.
If $f(A) = B$, we say $f$ maps $A$ onto $B$. We say $f$ is a 1-1 mapping if $f(x_1) \neq f(x_2)$ whenever $x_1 \neq x_2$.
집합 $S$ 위의 이항 연산(binary operation)은 다음과 같은 함수이다:
두 개의 원소를 재료로 넣어서 같은 집합 내의 새로운 원소 하나를 만들어내는 규칙이다. (예: 덧셈)
Let $S$ be a set. A (binary) operation on $S$ is a function from $S \times S$ to $S$.
집합 $F$ 위에 덧셈과 곱셈이 정의되어 다음 공리들을 만족할 때 $F$를 체(field)라 한다.
- A1교환법칙: $x + y = y + x$
- A2결합법칙: $(x + y) + z = x + (y + z)$
- A3항등원 존재: $\exists\, 0 \in F,\; 0 + x = x$
- A4역원 존재: $x + (-x) = 0$을 만족하는 $-x \in F$ 존재
- M1교환법칙: $xy = yx$
- M2결합법칙: $(xy)z = x(yz)$
- M3항등원 존재: $\exists\, 1 \in F,\; 1 \neq 0,\; 1 \cdot x = x$
- M4역원 존재: $x \neq 0$이면 $x \cdot \frac{1}{x} = 1$인 $\frac{1}{x} \in F$ 존재
0으로 나누는 것을 제외한 사칙연산이 자유롭게 가능한 세계이다.
A field is a set $F$ with two operations, called addition and multiplication, which satisfy the following "field axioms" (A), (M), and (D):
- A1$x + y = y + x$ for all $x, y \in F$
- A2$(x + y) + z = x + (y + z)$ for all $x, y, z \in F$
- A3$F$ contains $0$ such that $0 + x = x$ for all $x \in F$
- A4To every $x \in F$, there exists $-x \in F$ such that $x + (-x) = 0$
- M1$xy = yx$ for all $x, y \in F$
- M2$(xy)z = x(yz)$ for all $x, y, z \in F$
- M3$F$ contains $1 \neq 0$ such that $1x = x$ for all $x \in F$
- M4If $x \neq 0$, there exists $\frac{1}{x} \in F$ such that $x \cdot \frac{1}{x} = 1$
체 $F$가 동시에 순서 집합이며, 다음 호환 조건을 만족할 때 순서체(ordered field)라 한다:
(i) $y < z$이면 모든 $x \in F$에 대해 $x + y < x + z$
(ii) $x > 0$이고 $y > 0$이면 $xy > 0$
대소 비교도 가능하고 사칙연산도 가능하며, 부등식의 성질이 자연스럽게 성립하는 수 체계이다. $\mathbb{Q}$와 $\mathbb{R}$이 대표적인 순서체이다.
An ordered field is a field $F$ which is also an ordered set such that:
(i) $x + y < x + z$ if $x, y, z \in F$ and $y < z$.
(ii) $xy > 0$ if $x, y \in F$, $x > 0$, and $y > 0$.
If $x > 0$, we call $x$ positive; if $x < 0$, $x$ is called negative. For example, the rational number system $\mathbb{Q}$ is an ordered field.
최소상계 성질을 가지며 $\mathbb{Q}$를 포함하는 순서체(ordered field) $\mathbb{R}$이 존재한다.
$\mathbb{R}$을 실수계(real number system) 또는 실수(real numbers)라 부른다.
유리수 체계는 $\sqrt{2}$ 같은 무리수 자리에 구멍이 있다. 이 정리는 그 구멍들을 완벽하게 메워서 빈틈이 전혀 없는 거대한 수 체계(실수)가 수학적으로 존재함을 선언한다. 이것이 해석학의 가장 든든한 토대이다.
There exists an ordered field $\mathbb{R}$ which has the least-upper-bound property and contains $\mathbb{Q}$.
We call $\mathbb{R}$ the real number system or the real numbers. The members of $\mathbb{R}$ are called real numbers.
For the proof of this theorem, see [Rudin, Appendix, Chapter 1]. Exercise 1.27 asks one to show that $\mathbb{R}$ is the unique such ordered field in a suitable sense.
아르키메데스 성질과 확장 실수계 · Archimedean Property & Extended Reals
(a) 아르키메데스 성질(Archimedean property). $x, y \in \mathbb{R}$이고 $x > 0$이면
(b) 유리수의 조밀성(Density of $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$). $x, y \in \mathbb{R}$이고 $x < y$이면
(a) $A_x = \{nx \in \mathbb{R} : n \in \mathbb{N}\}$으로 놓자. $nx > y$를 만족하는 $n$이 없다고 가정하면, $y$는 $A_x$의 상계이다. 최소상계 성질에 의해 $\alpha = \sup A_x$가 존재한다.
$x > 0$이므로 $\alpha - x < \alpha$이고, $\alpha - x$는 $A_x$의 상계가 아니다. 따라서 $\alpha - x < mx$를 만족하는 $m \in \mathbb{N}$이 존재한다. 즉 $\alpha < (m+1)x$인데, $(m+1)x \in A_x$이므로 $\alpha$가 상계라는 사실에 모순이다.
(b) $x < y$이면 $0 < y - x$이고, (a)에 의해 $n(y-x) > 1$, 즉 $ny > 1 + nx$를 만족하는 $n \in \mathbb{N}$이 존재한다. 다시 (a)를 적용하면 $m - 1 \leq nx < m$을 만족하는 정수 $m$이 존재한다. 이를 합치면 $nx < m \leq 1 + nx < ny$이므로 $x < \frac{m}{n} < y$이고, $p = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}$이다.
(a) 아무리 작은 양수 $x$라도 계속 더하다 보면 언젠가는 반드시 임의의 실수 $y$를 넘어선다.
(b) 아무리 가까운 두 실수 사이에도 반드시 유리수가 하나 낀다. 수직선에서 유리수는 빽빽하게(조밀하게) 박혀있다.
(a) If $x \in \mathbb{R}$, $y \in \mathbb{R}$, and $x > 0$, then there is a positive integer $n$ such that $nx > y$. (Archimedean property)
(b) If $x \in \mathbb{R}$, $y \in \mathbb{R}$, and $x < y$, then there exists a $p \in \mathbb{Q}$ such that $x < p < y$. ($\mathbb{Q}$ is dense in $\mathbb{R}$)
(a) Let $A_x := \{nx \in \mathbb{R} : n \in \mathbb{N}\}$. Assume for contradiction that $nx \leq y$ for all $n \in \mathbb{N}$. Then $y$ is an upper bound of $A_x$, so $\alpha = \sup A_x$ exists. Since $x > 0$, $\alpha - x < \alpha$, so $\alpha - x$ is not an upper bound: $\alpha - x < mx$ for some $m$. Then $\alpha < (m+1)x \in A_x$, contradicting $\alpha$ being an upper bound. $\square$
(b) Since $0 < y - x$, by (a) there exists $n$ with $n(y-x) > 1$, so $ny > 1 + nx$. By (a) again, pick integers $m_1 > nx$ and $m_2 > -nx$, giving an integer $m$ with $m-1 \leq nx < m$. Then $nx < m \leq 1 + nx < ny$, so $x < m/n < y$. Set $p = m/n \in \mathbb{Q}$. $\square$
확장된 실수계 $\overline{\mathbb{R}}$은 실수계 $\mathbb{R}$에 두 기호 $+\infty$와 $-\infty$를 추가한 체계이다:
순서는 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $-\infty < x < +\infty$로 확장된다. 관례적으로:
상한이나 하한이 무한히 커지거나 작아지는 상황을 편리하게 표기하기 위해 도입한 개념적 기호이다. 일반적인 연산 법칙이 통하지 않으므로 체(field)는 아니다.
The extended real number system consists of $\mathbb{R}$ and two symbols $+\infty$ and $-\infty$ satisfying $-\infty < x < +\infty$ for all $x \in \mathbb{R}$.
Conventions (if $x$ is real): $x + (+\infty) = +\infty$, $x - \infty = -\infty$, $\frac{x}{\pm\infty} = 0$.
If $x > 0$: $x \cdot (+\infty) = +\infty$, $x \cdot (-\infty) = -\infty$. If $x < 0$: signs reverse.
Every nonempty $E \subset \bar{\mathbb{R}}$ has a least upper bound: $\sup E = +\infty$ if $E$ is not bounded above in $\mathbb{R}$. It is natural to define $\sup \emptyset = -\infty$ and $\inf \emptyset = +\infty$. The extended real number system does not form a field.
유클리드 공간 · Euclidean Space
유클리드 공간 $\mathbb{R}^k$의 벡터 $x, y, z$에 대해 내적과 노름을 각각
으로 정의하면 다음이 성립한다.
(i) 코시-슈바르츠 부등식: $|x \cdot y| \leq |x||y|$
(ii) 삼각 부등식: $|x + y| \leq |x| + |y|$
(iii) $|x - z| \leq |x - y| + |y - z|$
(i) 증명. $y = 0$이면 자명하다. $y \neq 0$으로 가정하고 임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해
$\alpha = \dfrac{x \cdot y}{|y|^2}$로 놓으면 $0 \leq |x|^2 - \frac{(x \cdot y)^2}{|y|^2}$이므로 (i)이 성립한다.
(ii) 증명.
(iii)은 $\tilde{x} = x - y$, $\tilde{y} = y - z$로 놓고 (ii)를 적용하면 얻는다.
(i) 두 벡터를 내적한 값의 크기는 각 벡터의 길이의 곱보다 클 수 없다.
(ii), (iii) A에서 B로 직선으로 가는 거리는 중간에 점 C를 거쳐 가는 거리보다 항상 짧거나 같다. 삼각형의 두 변의 합이 나머지 한 변보다 크다는 원리가 $n$차원에서도 성립한다.
Let $x, y, z \in \mathbb{R}^k$. Then
(i) Cauchy-Schwarz inequality:
(ii) Triangle inequality:
(iii)
(i) Assume $y \neq 0$. For any $\alpha \in \mathbb{R}$: $0 \leq |x - \alpha y|^2 = |x|^2 - 2\alpha(x \cdot y) + \alpha^2|y|^2$. Setting $\alpha = \frac{x \cdot y}{|y|^2}$ gives $0 \leq |x|^2 - \frac{(x\cdot y)^2}{|y|^2}$, i.e. $|x \cdot y|^2 \leq |x|^2|y|^2$. $\square$
(ii) $|x+y|^2 = |x|^2 + 2x\cdot y + |y|^2 \leq |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = (|x|+|y|)^2$. $\square$
(iii) Set $\tilde{x} = x-y$ and $\tilde{y} = y-z$. Apply (ii) to $\tilde{x}$ and $\tilde{y}$: $|x-z| = |\tilde{x}+\tilde{y}| \leq |\tilde{x}| + |\tilde{y}| = |x-y|+|y-z|$. $\square$